Sistem Persamaan

SISTEM PERSAMAAN

Materi kali ini salah satu materi yang penting untuk dipahami, karena banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut bisa merupakan suatu sistem persamaan linear atau sistem persamaan non linear.

Definisi Persamaan Linear

Persamaan linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat (berpangkat) satu.

Bentuk Umum Persamaan Linear

Bentuk umum dari sebuah persamaan linear adalah:  

ax = c                      (1 variabel)

ax + by = c              (2 variabel)

ax + by + cz = d       (3 variabel)

dimana a, b, c dan d  konstanta.

Penyelesaian (solusi) Persamaan Linear

Penyelesaian (solusi) persamaan linear ialah penentuan nilai dari setiap variabel yang memenuhi persamaan tersebut dengan memperhatikan domain atau daerah asalnya.

Contoh 1

Jika diberikan domain ialah himpunan bilangan bulat, maka

1.      2x = 6 hanya mempunyai satu solusi, yaitu:  x = 3.

2.      x + 5y = 10  mempunyai banyak solusi, yaitu : (x, y) = (0, 2) atau (10, 0) atau (–10 , 4) atau (20, –2) dan lain-lain.

3.      2x + 6y = 4    mempunyai banyak solusi, yaitu : (x, y) = (2, 0) atau (–7, 3) atau (–10, 4) atau (8, –2) dan lain-lain.

Definisi Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem persamaan linear ialah kumpulan dari persamaan-persamaan linear yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear

SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

Contoh 2 

o   SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan

o   SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan

Sistem Persamaan dengan n Variabel dan m Persamaan

Bentuk yang melibatkan variabel, yaitu

                                                            f (x₁ , x₂ , … , x_n)  = c

disebut persamaan dengan n buah variabel. Sistem persamaan adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan, yaitu

f1 (x1 , x2 , … , xn)	= c1
f2 (x1 , x2 , … , xn)	= c2
fm(x1 , x2 , … , xn)	= cm

Sistem persamaan di atas disebut sistem persamaan dengan n buah variabel dan m persamaan. Solusi dari suatu sistem persamaan adalah solusi secara simultan dari semua persamaan di dalam sistem itu. Cara baku untuk mencari suatu sistem persamaan dengan cara eliminasi dan atau subsitusi.

Penyelesaian (solusi) SPL

Penyelesaian SPL dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, yaitu: substitusi, eliminasi, metode cramer, eliminasi Gauss, eliminasi Gasuss-Jordan dan berbagai macam cara lain dengan himpunan penyelesaiannya adalah { (x , y) }, dimana (x, y) merupakan pasangan terurut dari variabel-variabel pada SPL dengan 2 variabel

.

Namun metode penyelesaian yang kita pelajari sekarang adalah metode substitusi, eliminasi dan cramer.

a.      Metode eliminasi

Metode eliminasi adalah salah satu metode yang sederhana, yaitu dengan cara menghilangkan suatu atau beberapa variabel dari semua persamaan yang lain, sehingga diperoleh nilai dari variabel yang kita inginkan. Setelah itu mensubstitusikan nilai variabel yang telah kita peroleh tersebut ke dalam persamaan-persamaan lain sehingga diperoleh nilai variabel-variabel lainnya.

Contoh 3

Diketahui SPL berikut

Tentukanlah solusinya !

            Penyelesaian

SPL yang diberikan sama dengan SPL berikut ini:

Dengan mengeliminasi kedua persamaan linear tersebut, akan diperoleh 4y= 16, sehingga diperoleh y=4. Selanjutnya substitusikan nilai y=4 ke dalam salah satu persamaan linear yang ada, sehingga

diperoleh:

Jadi himpunan penyelesaiannya ialah { (x, y)=( –10 , 4) }

b.      Metode substitusi

Metode sustitusi adalah salah satu metode lain yang sangat sederhana. Prinsip yang dilakukan metode ini adalah dari salah satu persamaan linear kita buat nilai eksplisit salah satu variabelnya terhadap variabel lainnya. Kemudian susbtitusi nilai eksplisit variabel yang didapat ke dalam persamaan linear yang lainnya, sehingga diperoleh nilai variabel yang diinginkan.

Contoh 4

Diketahui SPL berikut

Tentukanlah solusinya !

Penyelesaian

Dari persamaan linear 2x + 6y = 4 kita peroleh nilai eksplisit variabel x, yaitu: x =2- 3y. Kemudian substitusi variabel x= 2-3y ke dalam persamaan linear 3x + 5y= 10 sehingga diperoleh:

himpunan penyelesaiannya ialah { (x, y)=(5, –1)}

c.       Metode cramer

Pada bagian ini akan diperkenalkan metode lain dalam mengerjakan SPL, yaitu metode cramer.

Misalkan diberikan sebuah SPL 2 variabel dari 2 persamaan sebagai berikut:

maka solusi x dan y dari SPL di atas adalah:

  

 

Sistem Persamaan Non Linear (SPNL)

Definisi persamaan non linear

Persamaan non linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat tidak sama dengan satu atau mengandung nilai fungsi non linear, seperti log, sin dan lain sebagainya.

Contoh 6

Contoh persamaan non linear 1 , 2 dan 3 variabel adalah:

2x² = 6

x² + 5y = 10

2xy + 6y = 4 log (x)

x + 2y^1/2 – z = 2x²

Definisi sistem persamaan non linear (SPNL)

Suatu sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari beberapa persamaan non linear yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu.

Contoh 7

o   SPNL dengan 2 variabel dari 2 persamaan

.

o   SPNL dengan 3 variabel dari 3 persamaan

Penyelesaian (solusi) SPNL

Di dalam mencari solusi SPNL tidak ada metode yang baku, namun kita bisa mencoba dengan pemisalan variabel, substitusi atau eliminasi.

Contoh 8

Tentukan solusi dari sistem berikut ini: