Teori Bilangan (part 2)

1.2.  BILANGAN ASLI

Materi ini akan membahas materi tentang bilangan asli. Bilangan asli sendiri mempunyai sifat -sifat yang hampir sama dengan bilangan real. Namun ada beberapa sifat dari bilangan real yang tidak dimiliki oleh bilangan asli.

1.2.1. Operasi dasar bilangan asli

Sama seperti bilangan real, pada bilangan asli terdapat dua buah operasi dasar yaitu operasi penjumlahan dan perkalian.

Definisi:

Jika a dan b adalah bilangan real, maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai a + b yang merupakan jumlah dari a + b. Juga ada suatu bilangan real a × b (atau ditulis sebagai  a .b atau ab) yang merupakan hasil kali dari a dan b.                                                                                                                                                                                            

                   

                                                                                                        

1.2.2. Sifat-sifat operasi himpunan bilangan asli

Beberapa sifat operasi pada bilangan asli antara lain adalah:

1. Sifat tertutup

Himpunan bilangan asli N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan asli merupakan bilangan asli pula. Dalam notasi matematika biasa ditulis sebagai berikut:

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a, b  N, berlaku (a + b) N

b.      Perkalian

Untuk setiap a, b N, berlaku (ab) N

2. Sifat Komutatif

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a,b N, berlaku a + b = b + a

b.      Perkalian

  Untuk setiap a, b N, berlaku ab = ba

3. Sifat Asosiatif

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a, b, c N, berlaku (a + b) + c = a + (b + c)

b.      Perkalian

Untuk setiap a, b, c N, berlaku (ab)c = a(bc)

4. Sifat Identitas

a.         Penjumlahan

Untuk setiap n N, berlaku n+ 0= 0+ n = n

(0 sebagai bukan identitas penjumlahan, 0  N)

b.        Perkalian

Untuk setiap n N, berlaku n ×l= 1 × n = n

(1 sebagai identitas perkalian, 1  N)

5. Sifat Distributif

a.      Distributif kiri

Untuk setiap a, b, c N, berlaku (a + b)c = ac + bc

b.      Distributif kanan

Untuk setiap a, b, c N, berlaku a (b + c) = ab + ac

1.2.3. Bilangan genap

Sebuah bilangan bulat positif a disebut bilangan genap bila salah satu faktor dari a adalah 2. Kumpulan semua bilangan genap disebut himpunan bilangan genap.

1.2.4. Bilangan ganjil

Bilangan bulat positif yang bukan genap disebut bilangan ganjil. Kumpulan semua bilangan ganjil disebut himpunan bilangan ganjil.

1.2.5. Bilangan komposit

Sebuah bilangan bulat positif k ≠ 1 disebut bilangan komposit bila bilangan k tersebut

dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua atau lebih bilangan bulat positif ≠ 1. Kumpulan semua bilangan komposit disebut himpunan bilangan komposit.

1.2.6. Bilangan prima

Sebuah bilangan bulat positif p ≠ 1 disebut bilangan prima bila bilangan p tersebut merupakan perkalian antara 1 dan p, atau bilangan p hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan p sendiri. Kumpulan semua bilangan prima, disebut-himpunan bilangan prima, yaitu         {2, 3, 5, 7, ...}