Logika Matematika (bagian 1)

RINGKASAN LOGIKA MATEMATIKA

(bagian 1)

A.   Nilai Kebenaram Dan Ingkaran Dari Suatu Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus salah dan benar.

·         Lambang sebuah pernyataan

Pernyataan tunggal  biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r dan sebagainya.

·         Nilai Kebenaran Sebuah Pernyataan

Dapat menggunakan cara berikut:

Ø  Dasar Empiris >> Berdasarkan Fakta

Ex: Jakarta adalah ibukota Iandonesia(bernilai benar)

       Semua Ikan  bertelur (bernilai salah)

Ø  Dasar tidak Empiris>> Berdasarkan Bukti

Ex:Akar persamaan kuadrat -  +7=0 adalah bilangan real

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat peubah atau variable sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya.

B.   Nilai Kebenaran Dari Konjungsi, Disjungsi, Dan Ingkarannya

1.    Konjungsi

Dua pernyataan yang dirangkaidengan kata hubung logika “ dan “ . Dalam bentuk lambang, konjungsi dari pernyataan p dan q di tulis  p ^ q. nilai kebenaran nya memenuhi sifat berikut:

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Hubungan antara konjungsi dua pernyataan dengan irisan dua himpunan:

Jika p dan q masing – masing merupakan kailimat terbuka p(x)  dan q(x) pada hompunan semesta S, maka P Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x)^q(x) pada himpunan semesta S.

Dalam bentuk lambang himpunan ditulis:

P={x p(x)}, p benar jika x є P

Q={x q(x)}, q benar jika x є Q

P Q=  {x∣ p(x) ^ q(x)}, p^q benar jika x є (P Q)

 Hubungan ini di sajikan  dalam diagram Venn sebagai berikut:

 

 

 

 

 

2.       Disjungsi

Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung logika “atau”. Dengan lambang pvq di baca (p atau q).

·         Disjungsi inklusif

Contoh:

 p: segitiga ABC  adalah siku-siku dan q:  segitiga  ABC sama kaki, maka pvq: segitiga ABC  siku-siku atau sama kaki.

Dalam contoh ini dapat terjadi p dan q bersama – sama benar, yaitu jika segitiga ABC adalah   siku-siku dan sama kaki.

·         Disjungsi ekslusif (memisahkan atau menyisihkan )

Nilai kebenaran dari pvq memenuhi sifat sebagai berikut:

Jika p benar atau q benar atau keduanya benar, maka pvq  benar. Dalam hal lain pvq salah

.

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3.       Nilai  kebenaran pernyataan majemuk

Dari pernyataan tunggal p,q,r,. . . dan dengan menggunakan operasi-operasi pernyataan dapat di susun suatu pernyataan majemuk yang lebih kompleks , mis (p^q) (~p ^~q) dan sebagainya.nilai kebenaran dapat ditentukan dengan menggunakan table kebenaran.

Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada table kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah  buah

TEOREMA:

 

Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada table kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah  buah

4.       Kontradiksi, Tautologi, dan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen.

·         Pengertian kontradiksi

Adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan komponennya.

·         Pengertian tautologi

Adlah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan komponenny.

·         Pernyataan majemuk yang ekuivalen

Pernyataan majemuk P(p, q, r,. . .) dikatakan ekuivalen  dengan  Q(p, q, r,  . . .) jika kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan dari nilai-nilai kebenaran komponen-komponennya, ditulis dengan lambang P(p, q, r , . . .)  Q(p, q, r, . . .)[di baca: “P(p,q,r,. . .) ekuivalen Q(p, q, r ,  . . .)]

·         Ingkaran konjungsi dan disjungsi

Hokum de morgan: